4-3 Probabilidad_regla De La Suma

4-3 Regla de la suma 1 51 dolor de cabeza en el grupo de tratamiento entre las posibilidades a favor de un dolor de cabeza en el grupo de control, el cual se calcula evaluando lo siguiente:  pt > s 1 d  pc > s 1 2  pcd 2  pt  El riesgo relativo y la razón de probabilidad se utilizan comúnmente en estudios médicos y epidemiológicos. Calcule el riesgo relativo y la razón de probabilidad de los datos del dolor de cabeza. 35. Moscas Moscas en una nara naranja. nja. Si dos moscas se posan sobre una naranja, calcule la probabilidad de que ambas se localicen en puntos pertenecientes al mismo hemisferio. 36. Puntos Puntos en un palo palo.. Se seleccionan al azar dos puntos a lo largo de un palo recto. Después se rompe el palo en esos dos puntos. Calcule la probabilidad de que los tres pedazos que quedan se puedan acomodar para formar un triángulo. (Quizá éste sea el ejercicio más dif í  c  il del libro). ícil 4-3 Regla de la suma Los niños y las niñas no son igualmente probables En muchos cálculos de probabilidad, se obtienen buenos re- Concepto clave El objetivo principal de esta sección es presentar la regla de la suma como un método para calcular probabilidades que pueden expresarse de la forma P( A  A o B), es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso  A o de que ocurra el suceso B (o de que ambos ocurran), como único resultado de un procedimiento. Para calcular la probabilidad de que ocurra el suceso  A o el suceso B, primero debemos obtener el número total de maneras en que puede ocurrir  A y de maneras en que puede ocurrir B, pero calculamos ese total sin contar cada resultado más de una vez. La palabra clave en esta secci ón es “o”. A lo largo de este texto usaremos usaremos el o inclusive, que significa: uno o el otro o ambos. (Con excepci ón del ejercicio 26, no consideramos el o exclusivo, que significa uno o el otro, pero no ambos). En la sección anterior presentamos aspectos fundamentales de la probabilidad y estudiamos sucesos calificados como simples. En esta sección y en la siguiente nos ocuparemos de sucesos compuestos. sultados al suponer que los niños y las niñas tienen las mismas probabilidades de nacer. En realidad, es más probable que nazca un niño (con una probabilidad de 0.512) que una niña (con una probabilidad de 0.488). Estos resultados se basan en datos recientes del National Center for Health Statistics, según los cuales de los 4,058,814 nacimientos en un año, 2,076,969 fueron niños Definición Un suceso compuesto es cualquier suceso que combine dos o m ás sucesos simples. y 1,981,845 fueron niñas. Los investigadores revisan estas probabilida probabilidades des para descubrir cambios que podrí an an sugerir factores como modificaciones en el ambiente y la exposición a sus- Notación de la regla de la suma P( A o B  B))  P(en un solo ensayo, ocurre el suceso A suceso  A u ocurre el suceso B suceso  B o ambos ocurren) En esta sección, P( A  A y B) denota la probabilidad de que tanto  A como  B ocurran en el mismo ensayo, pero en la siguiente sección utilizamos P( A  A y B) para denotar la probabilidad de que el evento  A ocurra en un ensayo, seguido por el suceso B en otro ensayo. Por lo tanto, el verdadero significado de P( A  A y B) sólo se determina sabiendo si nos referimos a un ensayo que puede tener resultados de A y B, o dos ensayos en donde el suceso A ocurra en el primer ensayo y el suceso B ocurra en el segundo. Así  pues,  pues, el significado de P( A  A y B) depende del contexto. Comprensión de la notación tancias quí micas. micas. 152 Capítulo 4 Probabilidad Tabla 4-1 Resultados de exámenes sobre el consumo de marihuana ¿Los sujetos realmente consumen marihuana? El vocabulario de Shakespeare Según Bradley Efron y Ronald Thisted, los escritos de Shakespeare incluyen 31,534 palabras diferentes. Ellos usaron la teorí a de la probabilidad para concluir que Shakespeare probablemente conocí a al menos otras 35,000 palabras que no Sí  No Resultado de prueba positivo (La prueba indica que la marihuana está presente ). 119 (verdadero positivo) 24 (falso positivo) Resultado de prueba negativo (La prueba indica que la marihuana está ausente). 3 (falso negativo) 154 (verdadero negativo) Remí tase a la tabla 4-1 que se reproduce aqu í   para su comodidad. En la muestra de 300 sujetos representados en la tabla, ¿cuántos de ellos resultaron positivos o consumí an marihuana? (Recuerde, “resultaron positivos o consumí an marihuana” realmente significa “resultaron positivos, consumí an marihuana o ambos”). Un examen de la tabla debe indicarle que un total de 146 sujetos resultaron positivos o consumí an marihuana. ( Nota importante: Es incorrecto sumar los 143 sujetos que resultaron positivos con los 122 sujetos que consumí an marihuana, ya que este total de 265 contarí a dos veces a 119 de los sujetos, que sólo deben contarse una vez). Vea el papel que desempe ña el total correcto de 146 en el siguiente ejemplo. usó en sus escritos. Estimar el tamaño de una poblaci ón es un problema importante que se encuentra con frecuencia en estudios ecológicos, pero el resultado que aquí  se presenta es otra aplicación interesante. (Véase “Estimating the Number of Unseen Species: How Many Words Did Shakespeare Know?” en  Biometrika, vol. 63, núm. 3). EJEMPLO Prueba de drogas Remí tase a la tabla 4-1 que se reproduce aquí   para su comodidad. Suponiendo que se elige al azar a una de las 300 personas que fueron examinadas, calcule la probabilidad de seleccionar a un sujeto que haya resultado positivo o que consumí a marihuana. SOLUCIÓN En la tabla 4-1 observamos que hay 146 sujetos que tuvieron un resultado de prueba positivo o consumí an marihuana. El total de 146 se obtuvo al sumar a los sujetos que resultaron positivos con los sujetos que consumí an marihuana, teniendo cuidado de contar a cada uno sólo una vez. Al dividir el total de 146 entre el total general de 300, obtenemos el siguiente resultado: P(resultado positivo de la prueba o consumo de marihuana)  146>300 o 0.487. En el ejemplo anterior existen varias estrategias que usted podrí a utilizar para contar a los sujetos que resultaron positivos o consumí an marihuana. Cualquiera de los siguientes podrí a funcionar:  Coloree las celdas que representan a los sujetos que resultaron positivos o consumí an marihuana, luego sume los números de las celdas coloreadas, teniendo cuidado de sumar cada número sólo una vez. Este método da por resultado 119  24  3  146  Sume los 143 sujetos que resultaron positivos con los 122 sujetos que consumí an marihuana, pero el total de 265 incluye un doble conteo de 119 su jetos, de manera que para compensar esto se resta el traslape que consiste 4-3 en los 119 sujetos que resultaron positivos y consumí an marihuana. Este método produce el siguiente resultado 143  122  119  146  Comience con el total de 143 sujetos que resultaron positivos, luego sume los sujetos que consumí an marihuana y que aún no habí an sido incluidos en el total, para obtener un resultado de 143  3  146 Estudie cuidadosamente el ejemplo anterior para comprender esta caracter í stica fundamental del cálculo de la probabilidad de un suceso A o de un suceso B: el uso la palabra “o” sugiere una suma, y la suma se debe realizar sin un conteo doble. Este ejemplo sugiere una regla general por medio de la cual sumamos el número de resultados que corresponden a cada uno de los sucesos en cuestión: Para calcular la probabilidad de que un suceso  A ocurra o un suceso  B ocurra, calcule el n úmero total de formas en que  A puede ocurrir y el número de formas en que  B puede ocurrir, pero  calcule ese total de  tal manera que ningún resultado se cuente más de una vez. Un modo de formalizar la regla consiste en combinar el número de formas en que un suceso  A puede ocurrir con el número de formas en que un suceso  B puede ocurrir y, si hay algún traslape, se debe compensar restando el n úmero de resultados que se contaron dos veces, como se hace en la siguiente regla. Regla formal de la suma P( A o B)  P( A)  P( B)  P( A y B) donde P( A y B) denota la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo, como resultado en un ensayo de un procedimiento. La regla formal de la suma se presenta como una f órmula, pero no se recomienda el uso irreflexivo de f órmulas. En general, es mejor comprender  el espí ritu de la regla y utilizar esa comprensión de la siguiente forma. Regla intuitiva de la suma Para obtener P( A o B), calcule la suma del n úmero de formas en que puede ocurrir el suceso A y el número de formas en que puede ocurrir el suceso  B, sumando de tal manera que cada resultado se cuente s ólo una vez. P( A o B) es igual a esa suma, dividida entre el n úmero total de resultados en el espacio muestral. Puesto que el traslape de sucesos es un aspecto esencial en la regla de la suma, existe un término especial para describirlo: Definición Los sucesos A y B son disjuntos (o mutuamente excluyentes) cuando ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo. (Es decir, los sucesos disjuntos no se traslapan). Regla de la suma 153 Capítulo 4 154 Probabilidad EJEMPLO Examen de drogas De nuevo, remí tase a la tabla 4-1. a. Considere el procedimiento de elegir al azar a uno de los 300 sujetos incluidos en la tabla 4-1. Determine si los siguientes sucesos son disjuntos: A: elegir a un sujeto con un resultado de prueba negativo;  B: elegir a un sujeto que no consumí a marihuana. b. Suponiendo que se elige al azar a una de las 300 personas que fueron sometidas a la prueba, calcule la probabilidad de elegir a un sujeto con un resultado de prueba negativo o que no consumí a marihuana. SOLUCIÓN a. En la tabla 4-1 observamos que hay 157 sujetos con resultados de prueba negativos y 178 sujetos que no consumí an marihuana. El suceso de elegir a un sujeto con un resultado de prueba negativo y elegir a un sujeto que no consumí a marihuana pueden ocurrir al mismo tiempo (ya que existen 154 sujetos con resultados de prueba negativos y que no consumí an marihuana). Como esos eventos se traslapan, pueden ocurrir al mismo tiempo y decimos que los sucesos no son disjuntos. b. En la tabla 4-1 debemos calcular el número total de sujetos que tuvieron resultados de prueba negativos y que no consumí an marihuana, pero debemos hacerlo sin contar dos veces a cada uno. Obtenemos un total de 181. Área total = 1 P (A ) P (B ) P (A  y B ) Figura 4-3 Diagrama de Venn de sucesos que no son disjuntos Área total = 1 P (A ) P (B ) Puesto que 181 sujetos tuvieron resultados de prueba negativos o no consumí an marihuana, y como hay un total de 300 sujetos, obtenemos P s resultados de prueba negativos o no consumí an marihuanad 5 Diagrama de Venn de sucesos disjuntos 300 5 0.603 En la figura 4-3 se muestra un diagrama de Venn que nos ofrece una ilustración de la regla formal de la suma. En esta figura podemos ver que la probabilidad de A o B es igual a la probabilidad de A (cí rculo izquierdo) más la probabilidad de  B (c í rculo derecho) menos la probabilidad de  A y B (región media con forma de balón de f útbol americano). Esta figura nos muestra que la suma de las áreas de los dos cí rculos harí a que se contara dos veces la región media. Éste es el concepto básico que subyace en la regla de la suma. Debido a la relación entre la regla de la suma y el diagrama de Venn que se muestra en la figura 4-3, es com ún el uso de la notación P( A ´ B) en vez de P( A o B). De manera similar, se usa con frecuencia la notación P( A ¨ B) en vez de P( A y B), de manera que la regla formal de la suma se expresa como P( A ´ B)  P( A)  P( B)  P( A Figura 4-4 181 ¨ B) La regla de la suma se simplifica cuando  A y  B son disjuntos (no pueden ocurrir simultáneamente), de manera que P( A y  B) se convierte en cero. La figura 4-4 indica que si A y B son disjuntos, tenemos P( A o B)  P( A)  P( B). Podemos resumir los puntos clave de esta sección de la siguiente manera: 1. Para calcular P( A o B), primero debemos asociar el uso de la palabra “o” con la suma. 2. Considere si los sucesos A y B son disjuntos; es decir, ¿pueden ocurrir al mismo tiempo? Si no son disjuntos (es decir, si pueden ocurrir al mismo tiempo), 4-3 Regla de la suma 155 asegúrese de evitar (o al menos compensar) un conteo doble cuando se suman las probabilidades relevantes. Si usted comprende la importancia de no realizar un conteo doble cuando calcule P( A o B), no necesariamente debe calcular el valor de P( A)  P( B)  P( A y B).  Los errores que se cometen al aplicar la regla de la suma a menudo implican un conteo doble; es decir, tratar a los sucesos que no son disjuntos como si lo fueran. Una indicación de este tipo de error es una probabilidad total mayor que 1; sin embargo, no siempre los errores que implican a la regla de la suma hacen que la  probabilidad total sea mayor que 1. Sucesos complementarios En la sección 4-2 definimos el complemento del suceso A y lo denotamos como A. – Dijimos que  A consiste en todos los resultados en los que el suceso A no ocurre. – Los sucesos  A y  A deben ser disjuntos, porque es imposible que un suceso y su complemento ocurran al mismo tiempo. Además, podemos estar absolutamente seguros de que A ocurre, o bien, de que no ocurre, lo que implica que debe ocurrir –  A o  A. Estas observaciones nos permiten aplicar la regla de la suma para sucesos mutuamente excluyentes de la siguiente manera: – – Área total = 1 – P( A o A  P( A)  P( A )  1 Justificamos P( A o A )  P( A)  P( A ) se ñalando que A y A son disjuntos; justificamos el total de 1 por nuestra certeza absoluta de que  A ocurre, o bien, no ocurre. Este resultado de la regla de la suma da lugar a las siguientes tres formas equivalentes. – – Diagrama de Venn del complemento del suceso A – P( A)  P( A )  1 – P( A )  1  P( A) – P( A)  1  P( A ) La figura 4-5 es una representación visual de la relación entre P( A) y P( A). – En realidad, cuando nace un bebé, P(niño) — P  (A    )  1  P  (A    ) Figura 4-5 Regla de los sucesos complementarios EJEMPLO — P(ni ño ). P (A ) –  0.512. Calcule SOLUCIÓN Usando la regla de los sucesos complementarios, tenemos P(ni ño )  1  P(niño)  1  0.512  0.488 — Es decir, la probabilidad de no tener un niño, que es la misma que la de tener una niña, es de 0.488. La principal ventaja de la regla de los sucesos complementarios es que puede simplificar mucho ciertos problemas. Ilustraremos esta ventaja en la sección 4-5. 156 Capítulo 4 Probabilidad 4-3 DESTREZAS Y CONCEPTOS BÁSICOS Conocimientos estadísticos y pensamiento crítico 1. Sucesos disjuntos. Con sus palabras, describa qué  significa que dos sucesos sean disjuntos. 2. Regla de la suma. Con sus palabras, describa cómo se aplica la regla de la suma para calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A o de que ocurra el suceso B. 3. Encuesta. Para un proyecto de investigación, usted necesita calcular la probabilidad de que una persona sea zurda o conduzca un automóvil. ¿En qué error incurrirí a si encuestara a un grupo de 500 personas, formado por sus amigos más cercanos y parientes? 4. Sucesos disjuntos y complementos. Si un suceso es el complemento de otro suceso, ¿los dos sucesos deben ser disjuntos? ¿Por qué?  Determi nar si los sucesos so n disjuntos. En cada uno de los i ncisos de los ejercicios 5 y 6,  ¿ los dos eventos son disjuntos para un solo ensayo? (Sugerencia: Considere que “disjunto” es equivalente a “separado” o “que no se traslapa”). 5. a. Elección de un presidente de Estados Unidos Elección de una candidata b. Seleccionar al azar a una persona que fuma puro Seleccionar al azar a un hombre c. Seleccionar al azar a una persona tratada con el f ármaco Lipitor que reduce los niveles de colesterol Seleccionar al azar a una persona de un grupo de control que no recibe el medicamento 6. a. Seleccionar al azar una mosca de la fruta con ojos rojos Seleccionar al azar una mosca de la fruta con ojos sepia (caf é oscuro) b. Recibir una llamada telef ónica de un sujeto de encuesta voluntario que se opone a la clonación Recibir una llamada telef ónica de un sujeto de encuesta voluntario que aprueba la clonación de ovejas c. Seleccionar al azar a un enfermero Seleccionar al azar a un hombre 7. Cálculo de complementos – a. Si P( A)  0.05, calcule P( A ). b. Las mujeres tienen una tasa del 0.25% de ceguera a los colores rojo y verde. Si se elige una mujer al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ceguera a los colores rojo y verde? (Sugerencia: Considere que el equivalente decimal de 0.25% es 0.0025, no 0.25). 8. Cálculo de complementos – a. Calcule P( A ), dado que P( A)  0.01. b. Una encuesta de Reuters>Zogby indicó que el 61% de los estadounidenses creen que existe vida en otros lugares de la galaxia. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar a una persona que no tenga esta creencia?  En los ejercicios 9 a 12, utilice los datos de la siguiente tabla que resume los resultados de 985 muertes de peatones causadas por accidentes (según datos de la National Highway Traffic Safety Administration). ¿El peatón estaba intoxicado? Sí  No ¿El conductor estaba intoxicado? Sí  59 79 No 266 581 4-3 Regla de la suma 157 9. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la probabilidad de que el peatón estuviera intoxicado o que el conductor estuviera intoxicado. 10. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la probabilidad de que el peatón no estuviera intoxicado o que el conductor no estuviera intoxicado. 11. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la probabilidad de que el peatón estuviera intoxicado o que el conductor no estuviera intoxicado. 12. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la probabilidad de que el conductor estuviera intoxicado o que el peatón no estuviera intoxicado.  En los ejercicios 13 a 20, utilice los datos de la siguiente tabl a que resume los grupos sanguí neos y los factores Rh de 100 personas comunes. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo con el origen é tnico de la población. Grupo Tipo Rh1 Rh2 O A B AB 39 6 35 5 8 2 4 1 13. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad de seleccionar a alguien que no sea del grupo A. 14. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad de seleccionar a alguien del tipo Rh. 15. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad de seleccionar a alguien que sea del grupo A o del tipo Rh. 16. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad de seleccionar a alguien que sea del grupo A o del grupo B. 17. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(no del tipo Rh+). 18. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una person a al azar, calcule P(grupo B o tipo Rh+). 19. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(grupo AB o tipo Rh+). 20. Grupos y tipos sangu í neos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(grupo A u O o tipo Rh+).  En los ejercicios 21 y 22, remí tase la figura (en la parte superior de la siguiente página) que describe los guisantes utilizados en un estudio gené tico. (Las probabilidades tienen un papel importante en la gené tica, y Mendel realizó sus famosos experimentos de hibridación con guisantes, como los que se muestran en la figura). 21. Construcción de tabla. Utilice la figura de la siguiente página para identificar las frecuencias en la tabla que aparece al margen. (Las flores son las porciones superiores y las vainas son las porciones inferiores. Para completar la tabla considere que el color morado está representado en la figura por gris oscuro, y el verde por gris medio. El color amarillo está representado por gris claro, en tanto que el blanco aparece como tal). 22. Experimento de hibridación. Suponga que se elige al azar uno de los guisantes. (Recuerde que en la figura el color morado está representado por gris oscuro, y el verde por gris medio. El color amarillo está representado por gris claro, en tanto que el blanco aparece como tal). a. Remí tase a la figura y calcule P(vaina verde o flor morada). b. Remí tase a la tabla construida en el ejercicio 21 y calcule P(vaina verde o flor morada). c. ¿Qué formato es más f ácil de usar: la figura o la tabla? Tabla del ejercicio 21 Flor Morada Blanca Vaina Verde ? ? Amarilla ? ? 158 Capítulo 4 Probabilidad Guisantes utilizados en un experimento de hibridación 23. Resistencia a la encuesta. Las empresas que realizan encuestas están preocupadas por los niveles decrecientes de cooperación de las personas que se eligen para ser encuestadas. Un encuestador se pone en contacto con 84 personas entre 18 y 21 a ños de edad; encuentra que 73 responden y 11 se rehúsan a contestar. Cuando se pone en contacto con 275 personas entre 22 y 29 años, 255 responden y 20 se rehúsan a responder (según datos de “I Hear You Knocking but You Can’t Come In”, de Fitzgerald y Fuller, Sociological Methods and Research, vol. 11, núm. 1). Suponga que se selecciona al azar a 1 de 359 personas. Calcule la probabilidad de que sea una persona en el rango de edad de 18 a 21 años o una persona que se rehúsa a responder. 24. Resistencia a la encuesta. Remí tase al mismo conjunto de datos utilizado en el ejercicio 23. Suponga que se selecciona al azar a 1 de las 359 personas y calcule la probabilidad de que sea una persona en el rango de 18 a 21 años o alguien que sí  respondió. 4-3 MÁS ALLÁ DE LO BÁSICO 25. Sucesos disjuntos. Si los sucesos A y B son disjuntos, y los sucesos B y C son disjuntos, ¿los sucesos A y C deben ser disjuntos? Dé un ejemplo que apoye su respuesta. 26. O exclusivo. ¿En que se modifica la regla de la suma si se utiliza o exclusivo en vez de o inclusive? En esta sección se señaló que o exclusivo significa uno o el otro, pero no ambos. 27. Extensión de la regla de la suma. La regla formal de la suma, presentada en esta sección, expresa la probabilidad de A o B como sigue: P( A o B)  P( A)  P( B)  P( A y B). Extienda esta regla formal para desarrollar una expresión aplicable a P( A o B o C ). (Sugerencia: Dibuje un diagrama de Venn).
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dolor de cabeza en el grupo de tratamiento entre las posibilidades a favor de un dolor

de cabeza en el grupo de control, el cual se calcula evaluando lo siguiente:
El riesgo relativo y la razón de probabilidad se utilizan comúnmente en estudios médicos
y epidemiológicos. Calcule el riesgo relativo y la razón de probabilidad de los datos del
dolor de cabeza.
35. Moscas en una naranja. Si dos moscas se posan sobre una naranja, calcule la proba-
bilidad de que ambas se localicen en puntos pertenecientes al mismo hemisferio.
36. Puntos en un palo. Se seleccionan al azar dos puntos a lo largo de un palo recto.
Después se rompe el palo en esos dos puntos. Calcule la probabilidad de que los tres
pedazos que quedan se puedan acomodar para formar un triángulo. (Quizá éste sea el
ejercicio más difícil del libro).
4-3 Regla de la suma
Concepto clave El objetivo principal de esta sección es presentar la regla de la
suma como un método para calcular probabilidades que pueden expresarse de la for-
ma P(A o B), es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso A o de que ocurra el
suceso B (o de que ambos ocurran), como único resultado de un procedimiento. Para
calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B, primero debemos
obtener el número total de maneras en que puede ocurrir A y de maneras en que
puede ocurrir B, pero calculamos ese total sin contar cada resultado más de una vez.
La palabra clave en esta sección es “o”. Alo largo de este texto usaremos el o
inclusive, que significa: uno o el otro o ambos. (Con excepción del ejercicio 26,
no consideramos el o exclusivo, que significa uno o el otro, pero no ambos).
En la sección anterior presentamos aspectos fundamentales de la probabilidad
y estudiamos sucesos calificados como simples. En esta sección y en la siguiente
nos ocuparemos de sucesos compuestos.
p
t
>s1 2 p
t
d
p
c
>s1 2 p
c
d
4-3 Regla de la suma 151
Definición
Un suceso compuesto es cualquier suceso que combine dos o más sucesos
simples.
Notación de la regla de la suma
P(A o B) ϭP(en un solo ensayo, ocurre el suceso A u ocurre el suceso B o
ambos ocurren)
Comprensión de la notación En esta sección, P(A y B) denota la probabilidad
de que tanto A como B ocurran en el mismo ensayo, pero en la siguiente sección
utilizamos P(A y B) para denotar la probabilidad de que el evento A ocurra en un
ensayo, seguido por el suceso B en otro ensayo. Por lo tanto, el verdadero significado
de P(A y B) sólo se determina sabiendo si nos referimos a un ensayo que puede tener
resultados de A y B, o dos ensayos en donde el suceso A ocurra en el primer ensayo
y el suceso B ocurra en el segundo. Así pues, el significado de P(A y B) depende del
contexto.
Los niños y las niñas
no son igualmente
probables
En muchos cálculos de proba-
bilidad, se obtienen buenos re-
sultados al suponer que los niños
y las niñas tienen las mismas
probabilidades de nacer. En rea-
lidad, es más probable que nazca
un niño (con una probabilidad de
0.512) que una niña (con una
probabilidad de 0.488). Estos
resultados se basan en datos re-
cientes del National Center for
Health Statistics, según los cua-
les de los 4,058,814 nacimientos
en un año, 2,076,969 fueron ni-
ños y 1,981,845 fueron niñas.
Los investigadores revisan es-
tas probabilidades para descubrir
cambios que podrían sugerir fac-
tores como modificaciones en el
ambiente y la exposición a sus-
tancias químicas.
Remítase a la tabla 4-1 que se reproduce aquí para su comodidad. En la
muestra de 300 sujetos representados en la tabla, ¿cuántos de ellos resultaron
positivos o consumían marihuana? (Recuerde, “resultaron positivos o consumían
marihuana” realmente significa “resultaron positivos, consumían marihuana o
ambos”). Un examen de la tabla debe indicarle que un total de 146 sujetos re-
sultaron positivos o consumían marihuana. (Nota importante: Es incorrecto sumar
los 143 sujetos que resultaron positivos con los 122 sujetos que consumían ma-
rihuana, ya que este total de 265 contaría dos veces a 119 de los sujetos, que
sólo deben contarse una vez). Vea el papel que desempeña el total correcto de
146 en el siguiente ejemplo.
152 Capítulo 4 Probabilidad
EJEMPLO Prueba de drogas Remítase a la tabla 4-1 que se reproduce
aquí para su comodidad. Suponiendo que se elige al azar a una de las 300
personas que fueron examinadas, calcule la probabilidad de seleccionar a un
sujeto que haya resultado positivo o que consumía marihuana.
SOLUCIÓN En la tabla 4-1 observamos que hay 146 sujetos que tuvieron un
resultado de prueba positivo o consumían marihuana. El total de 146 se obtuvo
al sumar a los sujetos que resultaron positivos con los sujetos que consumían
marihuana, teniendo cuidado de contar a cada uno sólo una vez. Al dividir el
total de 146 entre el total general de 300, obtenemos el siguiente resultado:
P(resultado positivo de la prueba o consumo de marihuana) ϭ 146>300 o
0.487.
En el ejemplo anterior existen varias estrategias que usted podría utilizar para
contar a los sujetos que resultaron positivos o consumían marihuana. Cualquiera
de los siguientes podría funcionar:
G Coloree las celdas que representan a los sujetos que resultaron positivos o
consumían marihuana, luego sume los números de las celdas coloreadas,
teniendo cuidado de sumar cada número sólo una vez. Este método da por
resultado
119 ϩ 24 ϩ 3 ϭ 146
G Sume los 143 sujetos que resultaron positivos con los 122 sujetos que con-
sumían marihuana, pero el total de 265 incluye un doble conteo de 119 su-
jetos, de manera que para compensar esto se resta el traslape que consiste
El vocabulario de
Shakespeare
Según Bradley Efron y Ronald
Thisted, los escritos de Shakes-
peare incluyen 31,534 pala-
bras diferentes. Ellos usaron la
teoría de la probabilidad para
concluir que Shakespeare pro-
bablemente conocía al menos
otras 35,000 palabras que no
usó en sus escritos. Estimar el
tamaño de una población es un
problema importante que se en-
cuentra con frecuencia en estu-
dios ecológicos, pero el resultado
que aquí se presenta es otra apli-
cación interesante. (Véase “Esti-
mating the Number of Unseen
Species: How Many Words Did
Shakespeare Know?” en Biome-
trika, vol. 63, núm. 3).
Tabla 4-1 Resultados de exámenes sobre el consumo de marihuana
¿Los sujetos realmente consumen marihuana?
Sí No
Resultado de prueba positivo 119 24
(La prueba indica que (verdadero positivo) (falso positivo)
la marihuana está presente).
Resultado de prueba negativo 3 154
(La prueba indica que la (falso negativo) (verdadero negativo)
marihuana está ausente).
en los 119 sujetos que resultaron positivos y consumían marihuana. Este
método produce el siguiente resultado
143 ϩ 122 Ϫ 119 ϭ 146
G Comience con el total de 143 sujetos que resultaron positivos, luego sume
los sujetos que consumían marihuana y que aún no habían sido incluidos en
el total, para obtener un resultado de
143 ϩ 3 ϭ 146
Estudie cuidadosamente el ejemplo anterior para comprender esta característi-
ca fundamental del cálculo de la probabilidad de un suceso A o de un suceso B: el
uso la palabra “o” sugiere una suma, y la suma se debe realizar sin un conteo doble.
Este ejemplo sugiere una regla general por medio de la cual sumamos el nú-
mero de resultados que corresponden a cada uno de los sucesos en cuestión:
Para calcular la probabilidad de que un suceso A ocurra o un suceso
B ocurra, calcule el número total de formas en que A puede ocurrir y
el número de formas en que B puede ocurrir, pero calcule ese total de
tal manera que ningún resultado se cuente más de una vez.
Un modo de formalizar la regla consiste en combinar el número de formas en que
un suceso A puede ocurrir con el número de formas en que un suceso B puede
ocurrir y, si hay algún traslape, se debe compensar restando el número de resulta-
dos que se contaron dos veces, como se hace en la siguiente regla.
4-3 Regla de la suma 153
Regla formal de la suma
P(A o B) ϭP(A) ϩP(B) ϪP(A y B)
donde P(A y B) denota la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo,
como resultado en un ensayo de un procedimiento.
La regla formal de la suma se presenta como una fórmula, pero no se recomienda
el uso irreflexivo de fórmulas. En general, es mejor comprender el espíritu de la
regla y utilizar esa comprensión de la siguiente forma.
Regla intuitiva de la suma
Para obtener P(A o B), calcule la suma del número de formas en que puede ocu-
rrir el suceso A y el número de formas en que puede ocurrir el suceso B, suman-
do de tal manera que cada resultado se cuente sólo una vez. P(A o B) es igual a
esa suma, dividida entre el número total de resultados en el espacio muestral.
Puesto que el traslape de sucesos es un aspecto esencial en la regla de la suma,
existe un término especial para describirlo:
Definición
Los sucesos A y B son disjuntos (o mutuamente excluyentes) cuando am-
bos no pueden ocurrir al mismo tiempo. (Es decir, los sucesos disjuntos no
se traslapan).
154 Capítulo 4 Probabilidad
EJEMPLO Examen de drogas De nuevo, remítase a la tabla 4-1.
a. Considere el procedimiento de elegir al azar a uno de los 300 sujetos incluidos
en la tabla 4-1. Determine si los siguientes sucesos son disjuntos: A: elegir a
un sujeto con un resultado de prueba negativo; B: elegir a un sujeto que no
consumía marihuana.
b. Suponiendo que se elige al azar a una de las 300 personas que fueron someti-
das a la prueba, calcule la probabilidad de elegir a un sujeto con un resultado
de prueba negativo o que no consumía marihuana.
SOLUCIÓN
a. En la tabla 4-1 observamos que hay 157 sujetos con resultados de prueba
negativos y 178 sujetos que no consumían marihuana. El suceso de elegir a
un sujeto con un resultado de prueba negativo y elegir a un sujeto que no
consumía marihuana pueden ocurrir al mismo tiempo (ya que existen 154
sujetos con resultados de prueba negativos y que no consumían marihuana).
Como esos eventos se traslapan, pueden ocurrir al mismo tiempo y decimos
que los sucesos no son disjuntos.
b. En la tabla 4-1 debemos calcular el número total de sujetos que tuvieron re-
sultados de prueba negativos y que no consumían marihuana, pero debemos
hacerlo sin contar dos veces a cada uno. Obtenemos un total de 181.
Puesto que 181 sujetos tuvieron resultados de prueba negativos o no consumían
marihuana, y como hay un total de 300 sujetos, obtenemos
Psresultados de prueba negativos o no consumían marihuanad 5
181
300
50.603
En la figura 4-3 se muestra un diagrama de Venn que nos ofrece una ilustra-
ción de la regla formal de la suma. En esta figura podemos ver que la probabilidad
de A o B es igual a la probabilidad de A (círculo izquierdo) más la probabilidad de
B (círculo derecho) menos la probabilidad de A y B (región media con forma
de balón de fútbol americano). Esta figura nos muestra que la suma de las áreas de
los dos círculos haría que se contara dos veces la región media. Éste es el concepto
básico que subyace en la regla de la suma. Debido a la relación entre la regla de la
suma y el diagrama de Venn que se muestra en la figura 4-3, es común el uso de
la notación P(A ´ B) en vez de P(A o B). De manera similar, se usa con frecuen-
cia la notación P(A ¨ B) en vez de P(A y B), de manera que la regla formal de la
suma se expresa como
P(A ´ B) ϭP(A) ϩP(B) ϪP(A ¨ B)
La regla de la suma se simplifica cuando A y B son disjuntos (no pueden ocurrir
simultáneamente), de manera que P(A y B) se convierte en cero. La figura 4-4
indica que si A y B son disjuntos, tenemos P(A o B) ϭP(A) ϩP(B).
Podemos resumir los puntos clave de esta sección de la siguiente manera:
1. Para calcular P(A o B), primero debemos asociar el uso de la palabra “o” con
la suma.
2. Considere si los sucesos A y B son disjuntos; es decir, ¿pueden ocurrir al mis-
mo tiempo? Si no son disjuntos (es decir, si pueden ocurrir al mismo tiempo),
P (A) P (B)
P (A y B)
Área total = 1
P(A) P(B)
Área total = 1
Figura 4-3 Diagrama de
Venn de sucesos que no son
disjuntos
Figura 4-4 Diagrama de
Venn de sucesos disjuntos
asegúrese de evitar (o al menos compensar) un conteo doble cuando se suman
las probabilidades relevantes. Si usted comprende la importancia de no reali-
zar un conteo doble cuando calcule P(A o B), no necesariamente debe calcular
el valor de P(A) ϩP(B) ϪP(A y B).
Los errores que se cometen al aplicar la regla de la suma a menudo implican
un conteo doble; es decir, tratar a los sucesos que no son disjuntos como si lo fueran.
Una indicación de este tipo de error es una probabilidad total mayor que 1; sin
embargo, no siempre los errores que implican a la regla de la suma hacen que la
probabilidad total sea mayor que 1.
Sucesos complementarios
En la sección 4-2 definimos el complemento del suceso A y lo denotamos como A

.
Dijimos que A

consiste en todos los resultados en los que el suceso A no ocurre.
Los sucesos A y A

deben ser disjuntos, porque es imposible que un suceso y su
complemento ocurran al mismo tiempo. Además, podemos estar absolutamente
seguros de que A ocurre, o bien, de que no ocurre, lo que implica que debe ocurrir
A o A

. Estas observaciones nos permiten aplicar la regla de la suma para sucesos
mutuamente excluyentes de la siguiente manera:
P(A o A

ϭ P(A) ϩP(A

) ϭ 1
Justificamos P(A o A

) ϭ P(A) ϩ P(A

) señalando que A y A

son disjuntos; justi-
ficamos el total de 1 por nuestra certeza absoluta de que A ocurre, o bien, no
ocurre. Este resultado de la regla de la suma da lugar a las siguientes tres formas
equivalentes.
4-3 Regla de la suma 155
Regla de los sucesos complementarios
P(A) ϩP(A

) ϭ 1
P(A

) ϭ 1 Ϫ P(A)
P(A) ϭ1 Ϫ P(A

)
La figura 4-5 es una representación visual de la relación entre P(A) y P(A

).
P(A)
P(A) ϭ 1 Ϫ P(A)

Área total = 1
Figura 4-5 Diagrama de
Venn del complemento del
suceso A
EJEMPLO En realidad, cuando nace un bebé, P(niño) ϭ 0.512. Calcule
P(niño

).
SOLUCIÓN Usando la regla de los sucesos complementarios, tenemos
P(niño

) ϭ 1 Ϫ P(niño) ϭ1 Ϫ 0.512 ϭ 0.488
Es decir, la probabilidad de no tener un niño, que es la misma que la de tener
una niña, es de 0.488.
La principal ventaja de la regla de los sucesos complementarios es que puede
simplificar mucho ciertos problemas. Ilustraremos esta ventaja en la sección 4-5.
4-3 DESTREZAS Y CONCEPTOS BÁSICOS
Conocimientos estadísticos y pensamiento crítico
1. Sucesos disjuntos. Con sus palabras, describa qué significa que dos sucesos sean
disjuntos.
2. Regla de la suma. Con sus palabras, describa cómo se aplica la regla de la suma para
calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A o de que ocurra el suceso B.
3. Encuesta. Para un proyecto de investigación, usted necesita calcular la probabili-
dad de que una persona sea zurda o conduzca un automóvil. ¿En qué error incurriría
si encuestara a un grupo de 500 personas, formado por sus amigos más cercanos y
parientes?
4. Sucesos disjuntos y complementos. Si un suceso es el complemento de otro suceso,
¿los dos sucesos deben ser disjuntos? ¿Por qué?
Determinar si los sucesos son disjuntos. En cada uno de los incisos de los ejercicios
5 y 6, ¿los dos eventos son disjuntos para un solo ensayo? (Sugerencia: Considere que
“disjunto” es equivalente a “separado” o “que no se traslapa”).
5. a. Elección de un presidente de Estados Unidos
Elección de una candidata
b. Seleccionar al azar a una persona que fuma puro
Seleccionar al azar a un hombre
c. Seleccionar al azar a una persona tratada con el fármaco Lipitor que reduce los
niveles de colesterol
Seleccionar al azar a una persona de un grupo de control que no recibe el medicamento
6. a. Seleccionar al azar una mosca de la fruta con ojos rojos
Seleccionar al azar una mosca de la fruta con ojos sepia (café oscuro)
b. Recibir una llamada telefónica de un sujeto de encuesta voluntario que se opone a
la clonación
Recibir una llamada telefónica de un sujeto de encuesta voluntario que aprueba la
clonación de ovejas
c. Seleccionar al azar a un enfermero
Seleccionar al azar a un hombre
7. Cálculo de complementos
a. Si P(A) ϭ0.05, calcule P(A

).
b. Las mujeres tienen una tasa del 0.25% de ceguera a los colores rojo y verde. Si
se elige una mujer al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ceguera a los
colores rojo y verde? (Sugerencia: Considere que el equivalente decimal de 0.25%
es 0.0025, no 0.25).
8. Cálculo de complementos
a. Calcule P(A

), dado que P(A) ϭ0.01.
b. Una encuesta de Reuters>Zogby indicó que el 61% de los estadounidenses creen
que existe vida en otros lugares de la galaxia. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al
azar a una persona que no tenga esta creencia?
En los ejercicios 9 a 12, utilice los datos de la siguiente tabla que resume los resultados
de 985 muertes de peatones causadas por accidentes (según datos de la National Highway
Traffic Safety Administration).
156 Capítulo 4 Probabilidad
¿El peatón estaba intoxicado?
Sí No
Sí 59 79
No 266 581
¿El conductor estaba intoxicado?
9. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la pro-
babilidad de que el peatón estuviera intoxicado o que el conductor estuviera intoxicado.
10. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la
probabilidad de que el peatón no estuviera intoxicado o que el conductor no estuviera
intoxicado.
11. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la
probabilidad de que el peatón estuviera intoxicado o que el conductor no estuviera
intoxicado.
12. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la
probabilidad de que el conductor estuviera intoxicado o que el peatón no estuviera
intoxicado.
En los ejercicios 13 a 20, utilice los datos de la siguiente tabla que resume los grupos
sanguíneos y los factores Rh de 100 personas comunes. Estos valores pueden variar en
diferentes regiones de acuerdo con el origen étnico de la población.
4-3 Regla de la suma 157
13. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad
de seleccionar a alguien que no sea del grupo A.
14. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad
de seleccionar a alguien del tipo Rh
Ϫ
.
15. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad
de seleccionar a alguien que sea del grupo Ao del tipo Rh
Ϫ
.
16. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad
de seleccionar a alguien que sea del grupo Ao del grupo B.
17. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(no del tipo Rh
+
).
18. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(grupo B o
tipo Rh
+
).
19. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(grupo AB
o tipo Rh
+
).
20. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(grupo A u
O o tipo Rh
+
).
En los ejercicios 21 y 22, remítase la figura (en la parte superior de la siguiente página)
que describe los guisantes utilizados en un estudio genético. (Las probabilidades tienen
un papel importante en la genética, y Mendel realizó sus famosos experimentos de hibri-
dación con guisantes, como los que se muestran en la figura).
21. Construcción de tabla. Utilice la figura de la siguiente página para identificar las fre-
cuencias en la tabla que aparece al margen. (Las flores son las porciones superiores y
las vainas son las porciones inferiores. Para completar la tabla considere que el color
morado está representado en la figura por gris oscuro, y el verde por gris medio. El co-
lor amarillo está representado por gris claro, en tanto que el blanco aparece como tal).
22. Experimento de hibridación. Suponga que se elige al azar uno de los guisantes.
(Recuerde que en la figura el color morado está representado por gris oscuro, y el verde
por gris medio. El color amarillo está representado por gris claro, en tanto que el blanco
aparece como tal).
a. Remítase a la figura y calcule P(vaina verde o flor morada).
b. Remítase a la tabla construida en el ejercicio 21 y calcule P(vaina verde o flor morada).
c. ¿Qué formato es más fácil de usar: la figura o la tabla?
Grupo
O A B AB
Tipo
Rh
1
39 35 8 4
Rh
2
6 5 2 1
Tabla del ejercicio 21
Flor
Morada Blanca
Verde ? ?
Amarilla ? ?
Vaina
23. Resistencia a la encuesta. Las empresas que realizan encuestas están preocupa-
das por los niveles decrecientes de cooperación de las personas que se eligen para
ser encuestadas. Un encuestador se pone en contacto con 84 personas entre 18 y
21 años de edad; encuentra que 73 responden y 11 se rehúsan a contestar. Cuando
se pone en contacto con 275 personas entre 22 y 29 años, 255 responden y 20 se
rehúsan a responder (según datos de “I Hear You Knocking but You Can’t Come In”,
de Fitzgerald y Fuller, Sociological Methods and Research, vol. 11, núm. 1). Supon-
ga que se selecciona al azar a 1 de 359 personas. Calcule la probabilidad de que
sea una persona en el rango de edad de 18 a 21 años o una persona que se rehúsa a
responder.
24. Resistencia a la encuesta. Remítase al mismo conjunto de datos utilizado en el ejercicio
23. Suponga que se selecciona al azar a 1 de las 359 personas y calcule la probabilidad de
que sea una persona en el rango de 18 a 21 años o alguien que sí respondió.
4-3 MÁS ALLÁ DE LO BÁSICO
25. Sucesos disjuntos. Si los sucesos A y B son disjuntos, y los sucesos B y C son disjun-
tos, ¿los sucesos A y C deben ser disjuntos? Dé un ejemplo que apoye su respuesta.
26. O exclusivo. ¿En que se modifica la regla de la suma si se utiliza o exclusivo en vez
de o inclusive? En esta sección se señaló que o exclusivo significa uno o el otro, pero
no ambos.
27. Extensión de la regla de la suma. La regla formal de la suma, presentada en esta sec-
ción, expresa la probabilidad de A o B como sigue: P(A o B) ϭP(A) ϩP(B) ϪP(A y B).
Extienda esta regla formal para desarrollar una expresión aplicable a P(A o B o C). (Su-
gerencia: Dibuje un diagrama de Venn).
158 Capítulo 4 Probabilidad
Guisantes utilizados en un experimento de hibridación